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题目: 不同的二叉搜索树
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/
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public class NumTrees {
    public int numTrees(int n) {
        // 定义 G(n) 有 n 个结点时有多少种 二叉搜索树
        // 定义 f(n) 为以 i 为根节点时有多少种 二叉搜索树
        // 那么 G(n) = f(1) + f(2) + ... + f(n)  (1)

        // ##   以 i 为根节点, 那么从 (1, i - 1) 构造左子树, 从 (i + 1, n) 构造右子树
        // 而   f(i) = G(i - 1) * G(n - i);      (2)
        // 联立 (1)(2), 可以得出 G(n) = G(i - 1) * G(n - i), i -> (1, n);

        // 有 i 个根节点的时候一共有几种二叉搜索树
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = dp[1] = 1; // 都定义为 1 种, 方便下式进行计算

        for (int i = 2; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= i; j ++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }

        return dp[n];
    }
}
